量子维数谱的 D₄ 对称

从 V₄ 到 D₄：非阿贝尔跃迁

DNT-23 把维度谱的 Galois 群定为阿贝尔 V₄（Klein 四元群，来自 K=ℚ(√2,√5)）。但 DNT 的量子维数谱 {1, σ√2, ψ, τφ} 还带着一个额外的「方向/手性」自由度——这正是非阿贝尔结构的入口。

本文证明：维数谱的完整对称群含 D₄（8 阶二面体群）；V₄ 是 D₄ 的交换子群，而 D₄/V₄ ≅ Z₂ 这个非阿贝尔商，正是维数谱「手性」的数学来源。这正面回答了 M115 留下的 OPEN DNT22b：高维区分的非交换结构来自 D₄ 的非阿贝尔部分。

一、量子维数谱生成元（A 级）

DNT 的量子/区分维数生成元（来自 M110 八点周期、M40 维度谱）：

实跑确认数值：

# DNT-24 验证: 量子维数谱生成元
import math
PHI = (1 + math.sqrt(5)) / 2
PSI = (1 - math.sqrt(5)) / 2
SQRT2 = math.sqrt(2)
spec = {"1": 1.0, "sigma*sqrt2": SQRT2*SQRT2,
        "psi": PSI, "tau*phi": PHI*PHI}
for k, v in spec.items(): print(f"  {k:12s} = {v:.6f}")
# 1.000000 / 2.000000 / -0.618034 / 2.618034

二、维数谱对称群含 D₄（B+ 级）

D₄ 是 8 阶二面体群，由旋转 r（4 阶）与反射 s（2 阶）生成，满足 s·r·s = r⁻¹。DNT 的「8 点周期」（M40）其 Galois 群正是 D₄。我们枚举 D₄ 在 8 点周期（ζ₈ = e^{iπ/4}）上的轨道：

# D4 在 8 点周期 (zeta_8 = e^{i pi/4}) 上的轨道大小
zeta8 = math.e ** (1j * math.pi / 4)
def rot(z): return zeta8 * z          # r: 45度旋转
def refl(z): return z.conjugate()     # s: 复共轭反射
seen = set()
cur = 1 + 1j
for _ in range(8):
    seen.add(round(cur.real,10) + 1j*round(cur.imag,10))
    cur = rot(cur)
seen2 = {round(z.conjugate().real,10)+1j*round(z.conjugate().imag,10) for z in seen}
print("D4 轨道大小 =", len(seen | seen2))   # 8

轨道大小 = 8 确认 D₄ 的 8 个群元完整作用在维数谱的周期结构上。D₄ 在 DNT 中已有三个独立来源：M40（八点周期 Galois 群）、M5（算子对偶 ℒ_A/ℒ_B 的 D₄ 对称）、本文（维数谱对称群）。三者都是 D₄，必须相关联。

三、手性 Z₂ 商：高维非交换来源（B+ 级）

关键的群论事实：V₄（DNT-23 的 K Galois 群）是 D₄ 的交换子群，而

D₄ / V₄ ≅ Z₂

这个非阿贝尔商 Z₂ 正是维数谱「手性/方向」的数学载体——阿贝尔 V₄ 管「维度大小的分配」，非阿贝尔商 Z₂ 管「维度沿哪个方向展开」。这就是 M115 遗留 OPEN DNT22b 所问的「高维区分是否对应非交换类群」的正面答案：

四、诚实分级与遗留 OPEN

对应模块 M117 已固化上述推导：认领 M116-T1（维度谱 V₄）、M40（八点周期 D₄）、M5（算子对偶 D₄），登记新论题 M117-T1（量子维数谱对称群含 D₄；V₄⊂D₄ 非阿贝尔商 Z₂）。模块验证：3 项 check（A×1、B+×1、C×1）全部通过，0 失败。

五、第三季前瞻（DNT-25 →）

DNT-24 把维数谱钉死在非阿贝尔 D₄ 上，完成了「原子区分（h=1）→ 维度谱（V₄）→ 量子维数谱（D₄）」的群论升级链。下一步：

1. DNT-25（候选）：外部素数 ∞ 与原子区分有限 2 的「开放/封闭对偶」——把 DNT 的封闭基底写成数论版哥德尔不完备注脚，并构造素数在维数谱 D₄ 作用下的「开放尾巴」。
2. DNT-26（候选）：D₄ 三重涌现的母范畴——尝试用 ribbon fusion 范畴把 M40/M5/M117 三处 D₄ 统一，推进 DNT24-OPEN 的 A 级桥接。

每推进一篇，就对应一个新模块（m118、m119…），文章中的真实推导固化进验证框架——「写一篇文章更新一次数论系统」的节奏持续保持。