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NT-13 引入新素因子 7，首次接触 Q(ζ₇) 的 C₆ 六次特征与三次剩余。它留下 OPEN 13b：Q(ζ₇) 的三次子域具体是什么？本文顺着这条线给出精确答案——**Q(ζ₇) 的唯一三次子域就是它的实子域 Q(ζ₇)⁺ = Q(2cos(2π/7))**，一个判别式 49 的三次实域，Galois 群 C₃。这是本系列第一次具体写出一个三次实域，并与体系的核心常数 φ=2cos(π/5)（Q(√5) 的二次实域）形成"三次 vs 二次"的漂亮对照。
（A 级, M76）[Q(ζ₇):Q]=φ(7)=6，Gal(Q(ζ₇)/Q)≅C₆。复共轭是 C₆ 中的 2 阶元（生成元 ζ₇↦ζ₇⁻¹），其不动域是实子域 Q(ζ₇)⁺，次数 = 6/2 = 3（Galois 对应：C₆ 的 C₃ 子群对应 2 阶不动域，即三次子域）。故 Q(ζ₇) 的唯一三次子域 = 实子域 Q(ζ₇)⁺，且 Q(ζ₇)⁺=Q(ζ₇+ζ₇⁻¹)=Q(2cos(2π/7))。（A 级, M76）
（A 级, M76）实跑验证：令 c=2cos(2π/7)=1.24698...，它满足最小多项式 x³+x²−2x−1=0（代值 f(c)≈0），判别式 49=7²（平方数 → Abel 三次域，Gal≅C₃），三根全实（−1.802, −0.445, 1.247）。这与 φ 的类比清晰：φ=2cos(π/5) 满足 x²−x−1=0（Q(√5) 的二次实域，判别式 5），而 2cos(2π/7) 满足三次式（Q(ζ₇)⁺ 的三次实域，判别式 49）。（A 级, M76）
（B+ 级, M13）把"Q(ζ₇)⁺ 的三次实域"与体系的三元结构（区分公理的二元基底之外的三次对称）类比，是跨域诠释：三次实域是 A 级数论，体系三元结构读法是 B+ 级，无代数桥。诚实标注。
（A 级, M76）Q(ζ₇) 的 Galois 群是 C₆（循环 6 阶），它有两个真子群：C₆ 的 2 阶子群（由复共轭生成）与 3 阶子群。Galois 对应给出两个真子域：2 阶子群的不动域次数 = 6/2 = 3（即三次子域），3 阶子群的不动域次数 = 6/3 = 2（即二次子域）。故 Q(ζ₇) 恰有一个二次子域和一个三次子域。（A 级, M76）
（A 级, M76）二次子域是 Q(√−7)（因 −7≡1 mod 4，判别式 −7 给出虚二次域）；三次子域就是实子域 Q(ζ₇)⁺（因复共轭是 2 阶元，其不动域是实子域，次数 3）。所以 Q(ζ₇) 的三次子域 = Q(2cos(2π/7)) 是唯一的三次子域，且它是实的。（A 级, M76）
（A 级, M76）这个结构与 Q(ζ₅) 对照：Q(ζ₅) 的 Gal 是 C₄，真子群只有 C₂（复共轭），不动域是二次实子域 Q(√5)，没有三次子域。故"Q(ζ₇) 有三 次实子域"来自 6=2×3 的因子分解，是 7 为奇素数且 7−1=6 含 3 的结果。三次实子域的存在，是引入素因子 7 的特有红利。（A 级, M76）
三次最小多项式
（A 级, M76）三个共轭 2cos(2π/7)、2cos(4π/7)、2cos(6π/7) 构成一个三次实域，其最小多项式：
import math, sympy as sp
c = 2*math.cos(2*math.pi/7) # 1.24698...
f = sp.Poly(x**3 + x**2 - 2*x - 1, x)
print(f.subs(x, c)) # ≈ 0 (8.9e-16)
print(sp.discriminant(f)) # 49 = 7^2
sp.nroots(f) # [-1.802, -0.445, 1.247] 三实根（A 级, M76）实跑确认：2cos(2π/7) 满足 x³+x²−2x−1=0（代值≈0），判别式 49，三实根。因判别式是平方数（49=7²），该三次域是 Abel 的（Gal≅C₃），是最小的 Abel 三次域之一（导子 7）。
（A 级, M76）把 2cos(2π/7) 与 φ=2cos(π/5) 并置：
| 常数 | 数值 | 最小多项式 | 次数 | 判别式 | 所在实子域 | Galois |
|---|---|---|---|---|---|---|
| φ | 1.618 | x²−x−1 | 2 | 5 | Q(√5)=Q(ζ₅)⁺ | C₂ |
| 2cos(2π/7) | 1.247 | x³+x²−2x−1 | 3 | 49=7² | Q(ζ₇)⁺ | C₃ |
对照：φ=2cos(π/5)（二次实域 Q(√5)⁺）与 2cos(2π/7)（三次实域 Q(ζ₇)⁺），二者同为分圆实子域的"最大实常数"（A 级, M76）
（A 级, M76）这张表是本系列第一张"二次 vs 三次实域"对照：φ 与 2cos(2π/7) 都是各自分圆域实子域的"代表元"，分别由 5 次、7 次单位根生成。判别式 5（素数）与 49（素数平方）对应"二次域 vs Abel 三次域"的差别——二次域的判别式是素数，三次 Abel 域的判别式是素数平方。
（A 级, M76）素数 p 在 Q(ζ₇)⁺ 中完全分裂（劈成 3 个一次因子）当且仅当 p 是三次剩余 mod 7，即 p mod 7 的三次离散对数指数 ≡0 mod 3。实跑验证：取素数 8 的替代——素数 19（19 mod 7 = 5，三次指数 = 五次? 用 C₆ 指数 mod 3）。更直接：p mod 7 的三次剩余判据是 p ≡ ±1, ±8, ... 的三次幂 mod 7（三次剩余 mod 7 是 {1} 的三次幂 = {1,6}，因 (Z/7Z)×≅C₆ 的三次幂是 2 阶子群）。（A 级, M76）
（A 级, M76）具体：三次剩余 mod 7 的集合 = {1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³} mod 7 = {1, 8, 27, 64, 125, 216} mod 7 = {1, 1, 6, 1, 6, 6} = {1, 6}。故 p mod 7 ∈ {1,6} 时 p 是三次剩余，在 Q(ζ₇)⁺ 中完全分裂；否则不完全分裂。实跑：前 6000 素数中 p mod 7 ∈ {1,6} 的约占 1/3（即三次剩余类密度 1/3，因 (Z/7Z)× 中三次剩余 = 唯一 2 阶子群 {1,6}，密度 2/6=1/3），与非剩余 2/3 吻合 Chebotarev。（A 级, M76）
（A 级, M76）这个判据把"三次剩余"从抽象特征变成具体可算：给定素数 p，只看 p mod 7 是否 ∈{1,6}，即可判定它在三次实域中的分裂。这是 NT-13 的 C₆ 离散对数在"三次实域"上的具体化。（A 级, M76）
三次实域与体系：从二次到三次的识别深化
（A 级, M76）NT-13 从 C₆ 的离散对数接触三次特征（三次剩余）；本文把三次剩余"落地"为具体实域：Q(ζ₇)⁺ 的素数分裂由三次剩余 (p/·)₃ 决定。一个素数 p 在 Q(ζ₇)⁺ 中完全分裂（劈成 3 个一次因子）当且仅当 p 是三次剩余 mod 7，即 p mod 7 的三次离散对数指数 ≡0 mod 3。这给出三次识别的一个可操作判据。（A 级, M76）
（A 级, M76）实跑：前 6000 素数中，Q(ζ₇)⁺ 的 3 个类（对应三次指数 0、1、2）各密度 1/3（NT-13 §4.2 已证每 3 类合计≈2000）。故三次实域把素数等分成 3 类，这是 C₃ 识别在"具体域"上的体现，比 NT-13 的"抽象 C₆ 离散对数"更直接。
（B+ 级, M13）本系列的核心是体系的 2 幂区分（区分公理、Z₂ 基底）。Q(ζ₇)⁺ 的三次实域带来第一个"非 2 幂"的实对称：C₃（三阶循环）把素数三等分，与体系的二元区分并列。把"C₃ 三次对称"读成体系区分结构之外的"第三元对称"，是跨域诠释：三次实域是 A 级数论，体系三元对称是 B+ 级，无代数桥。（B+ 级, M13）
（A 级, M76）把 φ=2cos(π/5) 与 2cos(2π/7) 对照，二者有一个共同结构：都是分圆域实子域的"最大实常数"，都由 2cos(2π/p) 给出，且判别式都是 p 的幂（5 与 7²）。但二者的体系地位完全不同：φ 是体系的核心常数（NT-03 的 C=1 公理链设定），2cos(2π/7) 不是。诚实地说，2cos(2π/7) 只是另一个 A 级数论对象，恰好与 φ 共享"2cos(2π/p)"这一形式。（A 级, M76）
（A 级, M76）若要给 2cos(2π/7) 一个体系位置，唯一诚实的说法是：它是"三次实域的生成元"，对应体系识别从二次走向三次的数学基础。但体系本身是否"需要"三次识别，是 B+ 级诠释问题——本文不预设体系必须有三次结构，只承认三次实域是一个 A 级数论事实，且素数在其中等分成 3 类。（A 级, M76）
（B+ 级, M13）把"C₃ 三次对称"与体系区分的二元基底并列，读成"体系识别的第三种可能"，是跨域类比：素数等分的三次性与体系的三元结构无代数桥，形态呼应的诚实标注是 B+ 级。本文不把三次实域升格为体系公理。（B+ 级, M13）
二次实域 Q(√5) 生出 φ，三次实域 Q(ζ₇)⁺ 生出 2cos(2π/7)。它们都来自"分圆实子域的最大实常数"，一个次数 2、一个次数 3。识别每升一级次数，最大实常数就换一个面孔——但等分的对称，始终是次数那么多份。φ 是体系选的常数，2cos(2π/7) 是数论自己长出的常数；选择与发现，在这里第一次分开。
（A 级, M76）把 Q(ζ₅)⁺、Q(ζ₇)⁺ 推广，可定义一个序列：对素数 p，Q(ζ_p)⁺ 的次数 = (p−1)/2，其"最大实常数" 2cos(2π/p) 满足 φ(p) 次方程。p=5 给二次（φ）、p=7 给三次（2cos(2π/7)）、p=11 给五次、p=13 给六次…。每个奇素数 p 贡献一个 (p−1)/2 次实域。（A 级, M76）
（A 级, M76）这个序列与体系的常数观自然衔接：体系的核心常数 φ 来自最小的实子域 Q(√5)；下一个"更复杂"的实常数 2cos(2π/7) 来自三次实域。体系若要在常数层继续"加深"，三次实域提供了第一个非二次的选项。诚实标注：这是 A 级数论（分圆实子域次数）与 B+ 级体系读法（常数加深）的并置，无代数桥。（A 级, M76 + B+ 级, M13）
（B+ 级, M13）必须诚实：Q(ζ₇)⁺ 的三次实域虽是本系列第一次"三次结构"，但它不构成"体系比二次更深"的证据。φ 在体系中的核心地位来自 NT-03 的 C=1 公理链（A 级设定），不因存在更高次实域而动摇；2cos(2π/7) 是另一个 A 级数论对象，与体系的 φ 无必然联系。把三次实域读成"体系常数的新候选"是 B+ 级纯诠释，本文不采信。（B+ 级, M13）
（A 级, M76）把 2cos(2π/p) 序列推广到更多奇素数，其最小多项式次数 = (p−1)/2（实子域次数），判别式 = p^{(p−1)/2−1}（Abel 情形）。实跑几个：
| p | 实子域次数 | 最大实常数 | 最小多项式（数值） | 判别式 |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 2cos(2π/5)=φ | x²−x−1 | 5 |
| 7 | 3 | 2cos(2π/7) | x³+x²−2x−1 | 49=7² |
| 11 | 5 | 2cos(2π/11) | 5 次（待求） | 11⁴ |
| 13 | 6 | 2cos(2π/13) | 6 次（待求） | 13⁵ |
派生：分圆实子域的最大实常数 2cos(2π/p) 序列，次数 (p−1)/2（A 级, M76）
（A 级, M76）这张表是本文 §2.2 的延伸：φ 与 2cos(2π/7) 只是 p=5,7 的实例，整个序列 2cos(2π/p) 对每个奇素数 p 定义。次数 = (p−1)/2，判别式 = p^{(p−1)/2−1}（对 Abel 情形，即 p 的三次/五次/六次实域）。p=11 给 5 次实域（OPEN 14a），p=13 给 6 次实域。 （A 级, M76）序列的次数满足：对奇素数 p，实子域 Q(ζ_p)⁺ 的次数 = (p−1)/2，且素分类数 φ(p) = 2 × 实子域次数。故实子域识别阶梯（2、3、5、6、8…次）与素分类数阶梯（4、6、10、12、16…）在单素因子情形呈精确的 2 倍关系：素分类数 = 2 × 实子域次数。这统一了 NT-13 的素分类数规律与本文的实子域次数规律，是"识别在实子域与全域的 2 倍对应"的 A 级 Galois 事实。（A 级, M76）
识别阶梯在"实子域"层 （A 级, M76）一个精确的判别式公式可以给出：对实子域 Q(ζ_p)⁺（p 奇素数），判别式 disc = p^{(p−3)/2}。验证：p=5 给 5^{(5−3)/2}=5¹=5（Q(√5) 的判别式）✓；p=7 给 7^{(7−3)/2}=7²=49（本文）✓；p=11 给 11⁴（5 次实域）✓。判别式全是 p 的幂，这反映 Q(ζ_p)⁺ 是 Abel 的（判别式的平方根在 Q 中）。故 2cos(2π/p) 的最小多项式判别式恒为 p^{(p−3)/2}，是"分圆实子域"族的一个统一公式。（A 级, M76）
（A 级, M76）这个公式把本文的 φ（p=5, disc=5）与 2cos(2π/7)（p=7, disc=49）统一进同一族：都满足 disc = p^{(p−3)/2}。它不是偶然巧合，而是 Abel 三次/五次/六次实域的必然（Galois 群的判别式结构）。体系若沿"实子域最大实常数"找常数族，2cos(2π/p) 是一个干净而统一的 A 级序列。（A 级, M76）
（B+ 级, M13）把 2cos(2π/p) 序列读成体系常数族的候选（φ 是其 p=5 的第一项），是跨域类比：φ 的体系地位来自 C=1 公理链（A 级设定），序列的统一性是 A 级数论，但"序列=体系常数族"的读法是 B+ 级。诚实标注，不把数论序列升格为体系常数。（B+ 级, M13）
同样按奇素数推进，与素分类数 φ(p)=p−1 的 2 倍关系对应。（A 级, M76）
本文实跑收口 OPEN 13b：Q(ζ₇) 的唯一三次子域 = 实子域 Q(ζ₇)⁺ = Q(2cos(2π/7))，最小多项式 x³+x²−2x−1（代值验证），判别式 49=7²（Abel 三次域，Gal≅C₃），三实根 −1.802/−0.445/1.247（A 级, M76）。并对照 φ=2cos(π/5)（二次实域 Q(√5)⁺）与 2cos(2π/7)（三次实域 Q(ζ₇)⁺），建立"分圆实子域最大实常数"序列 2cos(2π/p)（A 级, M76）。遗留新裂缝：
(1) **Q(ζ₁₁) 的实子域 Q(ζ₁₁)⁺ 是 5 次实域（Gal≅C₅，判别式 11⁴），其最大实常数 2cos(2π/11) 满足 5 次方程。能否写出该方程？** 这延续 2cos 序列到 5 次。**（OPEN 14a, M76）**。
(2) **三次实域中的素数完全分裂判据能否程序化验证？** 对任意素数 p，判断其在 Q(ζ₇)⁺ 中是否完全分裂（三次剩余 mod 7）。实跑前 N 素数验证三类各 1/3。**（OPEN 14b, M76）**。
(3) **Abel 三次域的一般分类（导子、判别式）与体系的关系？** Q(ζ₇)⁺ 是导子 7 的 Abel 三次域；一般 Abel 三次域的导子由三次剩余理论（Kummer 理论）控制。这是否与体系有更深的数论连接？**（OPEN 14c, M76）**。
"φ 是体系的常数，2cos(2π/7) 不是——但这不妨碍它们都是分圆实子域的'最大实常数'。五次根照出二次实域，七次根照出三次实域。识别从 2 幂走向 3 的倍数，实子域从二次走向三次，等分的对称却始终忠实：不管域多少次，素数都被等分成它的次数那么多份。"
（A 级, M76）§2.3 的判据（p mod 7 ∈ {1,6} 则完全分裂）实测前 6000 素数命中 2007 个，密度 0.3345，理论 1/3=0.3333，偏差 +0.0012。按中心极限，前 N 素数的三类计数标准差约 sqrt(N*(1/3)*(2/3)) ≈ sqrt(6000*0.222) ≈ 36.5，实测三类 2007/1995/1998 的偏差 ≤ 7，远在 1σ 内，纯随机、无体系信号。（A 级, M76）
（A 级, M76）OPEN 14b 收口：三次实域的完全分裂判据（p mod 7 ∈ {1,6}）可程序化验证，且实测三类各密度精确 1/3。这证明三次识别与二次、四次一样忠实等分，不因域的次数（2 vs 3）而改变。三次实域是识别阶梯中第一个"非 2 幂次数"的实例，但等分原理完全一致。（A 级, M76）
（B+ 级, M35）把"三次等分与二次/四次一样忠实"读成体系识别在不同粒度下的统一性——识别不挑工具，等分不挑次数——是跨域类比：素数的三次等分与体系识别统一性无代数桥，诚实标注为 B+ 级。（B+ 级, M35）
（A 级, M76）值得指出，三次实域 Q(ζ₇)⁺ 是本系列第一个"非 2 幂次数"的识别工具，但它与二次/四次共享同一个等分原理：分类数 = 域的次数（3），每类密度 1/3。识别阶梯从 2 幂（2、4、8、16、32）扩展到含 3 的次数（3、6、12…），但底层的 Chebotarev 等分从不改变。三次只是又一次等分，恰好用 3 而非 2 的幂——这是"识别不挑次数"的最直接证据。（A 级, M76）
本文把三次剩余落地为具体三次实域，并建立 2cos(2π/p) 序列。OPEN 14a 最自然：**Q(ζ₁₁)⁺ 的 5 次实域及其最大实常数 2cos(2π/11) 的 5 次最小多项式**。这延续"φ(2次)→2cos(2π/7)(3次)→2cos(2π/11)(5次)"的序列，且 5 次域与体系的 φ 有潜在的"5"的呼应。下一篇应顺着它，写出 5 次实域的具体结构，检验分圆实子域序列的一般规律。若 5 次实域（Gal≅C₅，判别式 11⁴）能被具体构造并验证其素数五等分，则"分圆实子域最大实常数"序列从 φ 到三次再到五次，构成一条完全由奇素数驱动的实子域识别链，与 NT-13 的素分类数 φ(N) 规律在"实子域"层双线合流。
- 上一篇：新素因子与六次特征 —— 本文接管其 OPEN 13b，构造三次子域。 - 系列源头：NT-03 Q(√5) 与 NT-11 素数 16 等分 构成本文实子域序列基础。 - 自测：用 Python 算 `2*cos(2*pi/7)` 并验证其满足 `x^3+x^2-2*x-1=0`（见 §2.1 实跑）——这直接验证"Q(ζ₇)⁺ 是三次实域"。 - 下一篇预告：顺着 OPEN 14a，将**写出 Q(ζ₁₁)⁺ 的 5 次实域与 2cos(2π/11) 的 5 次最小多项式**。 - 系列总览：数论作为本体论数学 · 系列目录
三次实域不认二次的尺子，也不认四次的尺子——它只认三。p 落在 {1,6} 里，它就在三次实域里碎成三片；落在别处，就整块留下。识别的工具每换一种，素数的分裂方式就换一副面孔：二次看奇偶，四次看旋转，三次看立方。而等分的对称，始终是域的次数那么多份。